内积空间中的Mbius变换

一、内积空间中的Mbius变换（论文文献综述）

焦艳艳^[1]（2017）在《基于Gromov-Wasserstein距离的3D图形匹配方法》文中研究表明随着科学技术的飞速发展及3D技术的提高,人们在数据采集和图形建模领域取得了很大的进步。基于数字分析的应用领域有很多,如:分子生物学、人脸识别、模式识别等。图形匹配是计算机视觉、计算机图形学、机器人学等领域的基本问题之一,也是数字分析的重要应用之一。图形匹配简单的说,就是在给定两个图形之间寻找一个映射,使得这两个图形具有相同的拓扑性质。图形匹配包括刚性变换、等距变换、非刚性变换等。本文主要研究的是非刚性变换。3D图形匹配需要解决的最基本的两个问题的话提高匹配率和精确率,为提高图形匹配的匹配率和精确率,本文提出一种基于Gromov-Wasserstein（G-W）距离的3D图形匹配方法。首先将2个图形嵌入到度量测度空间中,通过最远采样法进行采样;然后采用G-W距离表示2个图形之间的差异性,构造出目标函数和约束条件,该优化系统是难于求解的二次分配问题（QAP）;为了易于求解,提出一种约束条件松弛策略,只需满足行和（列和）约束即可,获得一组相互独立的线性约束;最后采用投影梯度算法求解,得到了更接近于理论值的解。在SHREC’10标准数据库上进行了多种非刚性变换的图形匹配的数值实验,并与已有的方法进行比较,结果表明,该方法在保证精确率的前提下大大提高了匹配率,并在一定程度上提高了实验结果的稳定性。

林泉^[2]（2013）在《Gyro向量空间中的Gyro重心坐标公式》文中提出在二十世纪末的1988年,Abraham A. Ungar发现了Einstein速度加法法则具有类似群的代数结构,之后被称为gyro群.后来结合Einstein数乘,创立了Einstein gyro向量空间.Gyro向量空间与双曲几何的关系好比是向量空间与欧式几何的关系.这一新的发现将为我们研究双曲几何提供强有力的武器,是双曲几何,乃至数学界的一重大发展.Scott Walter （[52]）就曾经对A. Ungar的作品（[17]）给予了大力地肯定和支持.在20多年来,它的发展主要运用analogy的手段将欧式空间中好的结论推广到新的空间中来.Ungar. A. A在新空间上建立了一套完善的体系,当然它也有很多的空白急需填补,这也是我文章中主要的工作.比如,在欧式空间中有很多优秀性质、被誉为现代几何明珠的类似重心,将是本文重点研究的对象,我将考虑它在两类gyro空间上的gyro重心坐标公式,并将它在欧式上的结论推广到gyro向量空间中.2009年,随着Abraham A. Ungar给出了gyro向量空间（包括Einstein gyro向量空间和Mobius gyro向量空间）中的gyro重心坐标公式,将gyro语言进一步的完善,gyro2维、3维乃至高维空间中的单形内部的特殊点的坐标研究又上升到了一个新的平台,得到很多好的结果.一大批学者,如Milton Fcrreira（[30,31]）, Nilgun Sonmcz（[31]）, Tuval Fogucl （[35]）, C.barbu（[24,25]）, Dcmirel Oguzhan（[51]）等等,在此期间投身gyro领域的研究或给予高度的关注.本文的工作正是与gyro重心坐标的内容相匹配.现在,gyro向量空间的研究与多个学科分支相互促进,它的理论广泛应用于并推动双曲几何、相对论、量子物理、Clifford代数等领域的发展.本文主要介绍了我通过Einstein gyro向量空间中gyro重心坐标公式的应用对该空间中的gyro类似重心做了的研究,比如分别在Einstein gyro向量空间和Mobius gyro向量空间中得到各自的gyro重心坐标公式的表达式,将类似重心在欧式空间上的一些好的性质和有趣的结论运用Einstein gyro向量空间上的一些基本理论和（?）gyro重心坐标公式,推广到（?）gyro向量空间.在论文前,我特别向这一领域的创始人Ungar. A. A通过Email交流了我的想法,他表示2,3维gyro单形中的（?）gyro类似重心的gyro重心坐标公式目前还没有人作过,值得尝试；文章完成后,他表示这是一个novel and interesting result,可以尝试去发表一下.我将在文章中给出我在gyro重心坐标领域中所做出的结果.下面是文章的结构,本文共分为三章：第一章,介绍本文研究的理论背景,将对gyro向量空间中的Einstein速度加法和数乘, Mobius速度加法和数乘,以及gyro群等作初步的介绍,并且阐明gyro空间与双曲空间的紧密联系.有关gyro句量空间的介绍结束后,我们将说明Einstein gyro向量空间和Mobius gyro向量空间是同构的,并给出两个空间中gyro向量相互转化的关系式.第二章,介绍2009年Abra ham A.Ungar教授给出的gyro空间中的gyro重心坐标公式和已有结果,它的形式与欧式空间的有类似之处,但是多了一个gamma因子,因此计算和作用的步骤也比欧式较烦琐一些.为了更好的让大家理解gyro重心坐标公式,我先给出Ungar已有的几个重要结果：gyro2维单形（后面都通俗的称为gyro三角形）的垂心、重心在两类gyro向量空间上的坐标表达式等等,当然gyro3维单形（后面通俗的称为gyro四面体）上也有相应的好的结果.然后,对另外一个重要的概念引入gyro空间,即gyro类似重心.我们将分别在Einstein gyro空间和Mobius gyro向量空间上给出gyro类似重心相应的gyro重心坐标公式.方法与Ungar教授（[16]）在处理gyro重心、gyro中心等单形内重要的点的gyro重心坐标公式时用到的方法类似.首先,是在Einstein gyro向量空间上计算它的坐标公式,这是由于与Einstein gyro向量空间相匹配的双曲几何球状模型上可以运用向量代数的知识.然后,根据我们前边提到的Einstein gyro向量空间和Mobius gyro空间的同构关系和转化式子,直接推出结果.之后,将类似重心在欧式空间上的一些性质移植到gyro空间上.在本文中,我的主要结论如下：定理2.1：令点集{A1,A2,A3}中三点在Einstein gyro向量空间（Rsn,（?））, n>2上相互独立.那么由点集{A1,A2,A3}中三个元素组成的gyro三角形A1A2A3的gyro类似重心有下面的gyro重心坐标公式：该gyro重心坐标公式是关于集合{A1,A2,A3}所给出的,其相应的gyro坐标为或者该gyro重心坐标公式也是关于集合{A1,A2,A3}.所给出的,其相应的gyro坐标为（m1:m2:m3）=（γ232-1:γ132-1:γ122-1）.对于gyro空间中的gyro类似重心,它也有如欧式空间中的一些好的性质,这也是我们研究gyro类似重心的意义所在.我们在下边的性质2.2-2.5,要考查欧式空间中的性质能否在新的空间中成立或改进后得到成立.性质2.2：令S为gyro三角形A1A2A3的gyro类似重心,D1,D2和D3分别为点S到该gyro三角形三个gyro边，A2A3,A1A3,A2A3,上的垂直投影,即作垂线段到各gyro边或其延长线上,与gyro边的交点.那么有下边式子成立：（γsD1‖sD1‖:γsD2‖sD2‖:γsD3‖sD3‖）=（γ23α23:γ130,13:γ120,12）（0.1）其中,有关α12,α13,α23的定义与定理2.1中的相同,我将在论文的正文第二章中详细给出.要想得到性质2.2中的结果,我们需要先考虑下面的性质2.3.性质2.3：在Einstein gyro向量空间（Rsn,（?））n≥2中,集合{A1,A2,A3}里面的元素为相互独立的,构成gyro空间上的gyro三角形A1A2A3.令Sx为从gyro三角形顶点A3出发的gyro类似中线A3F12（两端点A2和F13之间）上任意一点,D31为Sx到gyro边A2A3或其延长线上的投影.同样,我们定义D32为Sx到gyro边A1A3或其延长线上的投影.我们有下面的关系式成立,当然,对于它的其他两条gyro类似中线也有同样的结论.下面我们开始考虑性质2.2逆问题,它的的逆问题是否成立呢?为此我们先考虑性质2.3的的逆问题.性质2.4（性质2.3的逆问题）：在Einstein gyro向量空间（Rsn,（?））n≥2中,集合{A1,A2,A3}里面的元素为相互独立的,构成gyro空间上的gyro三角形A1A2A3.令Px为gyro三角形A1A2A3内部满足下面方程的任意一点其中,H31为点Px到gyro边A2A3或其延长线上的投影,同样地,H32为点Px到到gyro边A1A3或其延长线上的投影.那么,Px必在gyro类似中线A3F12上.同理,我们可以考虑其它两条gyro类似中线上的情况,也可以得到同样结论：性质2.4’（性质2.3的逆问题）：在Einstein gyro向量空间（Rsn,（?））n≥2中,集合{A1,Az,A3}里面的元素为相互独立的,构成gyro空间上的gyro-三角形A1A2A3.令Py（Pz）为gyro三角形A1A2A3内部满足下面方程（0.4）（（0.5））的任意一点其中,H23（H12）为点Py到到gyro边A1A2（A1A3）或其延长线上的投影,H21（H13）为点Pz到gyro边A2A3（A1A2）或其延长线上的投影.那么,Py（Pz）必在gyro类似中线A2F13（A1F23）上.有了上面性质2.4的保证,我们前面对于性质2.2的逆问题的思考,可以有相应的答案了.性质2.5（性质2.2的逆问题）：令{A1,A2,A3}为gyro向量空间（Rsn,（?）） n>2中的集合,里面的元素互相独立,构成gyro向量空间的一个gyro三角形.令P为gyro三角形A1A2A3内部的任意一点,H1,H2和H3分别为P到gyrp三角形的gyro边A2A3,A1A3,A2A3,上的垂直投影.如果点P满足下边式子（γPH1,‖PH1‖:γPH2‖PH2‖:γPH3‖PH3‖）=（γ23α23:γ13α13: γ12α12）（0.6）那么,P必为该gyro三角形的gyro类似重心.在第三章中,我们继续讨论gyro类似重心在Mobius gyro向量空间上的gyro重心坐标公式.定理3.1：令A1A2A3为Mobius gyro向量空间（Vs,（?）,（?））上的任意一个gyro三角形.它关于gyro三角形A1A2A3的三个顶点A1,A2,A3的gyro类似重心坐标公式为其中,m1,m2,m3为MobiuS gyro向量空间意义下的gyro重心坐标,具体可表示为上边三个等式中的gamma因子定义如下,γij=γ（?）MAi（?）MAj.0.9)i.j=1,2,3,且i<j.第四章,我们将在gyro3维单形上研究gyro类似重心,并考察它存在的条件.研究的过程与二、三两章类似,我得到下边的几个结果.首先,我们要考虑什么样的单形是我们要考虑的,所以需要先考虑下面引理4.1的问题.引理4.1：在Einstein gyro向量空间（Rsn,（?））,n≥3中,若一个gyro3维单形存在gyro类似重心,那么它必满足下边的式子或者,其中,各gamma因子的定义在第四章定理证明部分给出.下面我们来到研究的重点,考虑引理4.1条件下的gyro类似重心的gyro重心坐标公式：定理4.2：令点集{A1,A2,A3,A4}中四个点在Einstein gyro向量空间（Rsn,（?））,n≥3上相互独立.那么由点集A1,A2,A3,A4中四个元素组成的gyro四面体A1A2A3A4（在满足引理4.1的条件下）的gyro类似重心有下面的gyro重心坐标公式：其中,（m1:m2:m3:m4）为是gyro类似重心关于集合{A1,A2,A3,A4}的gyro重心坐标，也可以表示为(（γ132-1）（γ242-1）:（γ132-1）（γ142-1）（γ122-1）（γ122-1）（γ142-1）（γ122-1）（γ122-1）根据引理中条件4.1还可以生成其他形式的结果,但是比值是相同的.与前面2维gyro单形的研究类似,我们可以将得到的结果推广到相应的Mobius gyro向量空间上：定理4.3：令A1A2A3A4为Mobius gyro向量空间（Vs,（?））上的一个gyro四面体,满足条件那么它存在gyro类似重心,且关于该gyro四面体A1A2A3A4的四个顶点A1,A2, A3,A4的gyro类似重心坐标公式为其中,S是Mobius gyro向量空间（Vs,（?）,（?））中gyro四面体A1A2A3A4的gyro类似重心,（m1:m2:m3:m4）为它的gyro重心坐标,即在Mobius gyro向量空间上,符合条件的gyro四面体还存在多种形式的gyro类似重心的等价坐标,我们不一一列举了.

陈超,陈敏^[3]（2010）在《Hilbert空间中单位球内的等距变换群及Mbius变换分类》文中提出在Hilbert空间中,定义单位球内的非欧度量,并且证明了所有保持单位球B不变的等距变换M（B）恰好是这个度量下的等距同构群.最后对Hilbert空间中Mbius变换给出了完整的分类.

陈超^[4]（2009）在《Hilbert空间中的M（？）bius变换》文中研究说明本文第一章为预备知识,主要给出了Hilbert空间中M（o|¨）bius变换的定义及基本性质;第二章定义了Hilbert空间中单位球内的非欧度量,并且证明了所有保持单位球B不变的M（o|¨）bius变换组成的等距变换群M（B）恰好是这个度量下的等距同构群;第三章中对Hilbert空间中的M（o|¨）bius变换进行了完整的分类并且讨论了它们的性质.

赵杰^[5]（2007）在《内积空间中的等距群和高维M（?）bius群的离散性》文中指出本文主要研究无穷维内积空间中的等距群和高维Mo|¨bius群的离散性,具体安排如下:第一章绪论中首先介绍了所研究问题的背景,然后给出了本文得到的主要结果。在第二章中具体讨论了内积空间中保单位球不变的Mo|¨bius变换组成的等距同构群:首先讨论了内积空间中反射与Mo|¨bius变换之间的关系,接着我们给出了内积空间中一个映射为Mo|¨bius变换的充要条件,得到了与n维欧式空间中类似的结论;其次我们刻画了内积空间中Mo|¨bius变换的等度连续性;最后用纯代数的方法在内积空间中建立了特殊情形的Jφrgensen不等式。第三章中,我们对高维Mo|¨bius群的离散性作了讨论,利用通弦模及Clifford矩阵给出了高维欧式空间中Mo|¨bius变换生成群是离散群的三个必要条件。

殷冬琴^[6]（2004）在《内积空间中的Mbius变换》文中研究指明将Mobius变换的概念推广到了内积空间中,并采用一种纯几何的方法,讨论了内积空间中的 Mobius变换和保交比映射之间的等价关系.

殷冬琴^[7]（2004）在《内积空间中的M（？）bius变换及M（？）bius群的离散性》文中研究说明M（o|..）bius群与带有双曲结构的流形密切相关，而无穷维流形是流形理论的重要组成部分，因此把M（o|..）bius群理论推广到无穷维空间有着重要的意义。J.V（o|..）is（o|..）l（o|..）在中所引用的一个反例表明有限维空间中M（o|..）bius变换的概念并不适合于一般度量空间。本文第一节成功地将M（o|..）bius变换的概念建立在内积空间的框架下，我们的结果（定理1，定理2）显示出内积空间中的M（o|..）bius变换的几何与有限维空间中的M（o|..）bius变换的几何有着很大的相似性。另外，从其他的一些平行工作可看出内积空间中的M（o|..）bius变换与带有双曲结构的无穷维流形确实也有着密切的关系，从而说明我们对M（o|..）bius变换所进行的推广具有很好的发展前景。在定理的证明中，我们采用的是一种纯几何的证明方法，这种全新的方法不涉及空间的维数，它不同于H.Haruki和T.M.Rassias采用的求Schwarz导数的方法，也不同于A.F.Beardon和D.Minda采用的数学归纳法，前者仅适用于二维复平面中，后者也仅局限于有限维空间中。 本文第二节提出了一种新的判别二维非初等M（o|..）bius群离散的方法，即将一个固定的抛物元作为检验元来检验扩充复平面上非初等M（o|..）bius群的离散性。文中给出的结果（定理3）改进了由T.J（o|..）rgensen建立的判别法（定理D）。

杨世海^[8]（2004）在《有限维及无限维M（？）bius群》文中提出自1885年M（?）bius首先引入平面M（?）bius变换的概念至今，M（?）bius群理论的发展已经有一百多年的历史。在复解析动力系统、Teichmüller空间和Sobolev空间、位势理论、物理和工程技术等领域都有M（?）bius群理论的重要应用。对M（?）bius群理论的研究中，离散M（?）bius群与Riemann曲面及双曲流形之间的联系、群的离散准则以及群列和其代数极限之间关系的研究都是非常重要的基本问题。而无穷维流形又是流形理论中的一个重要组成部分，因此将M（?）bius群理论推广到无穷维空间将会有很大的活力和发展前景。本文尝试在这些方面进行探讨，共分如下三节： 在第一节中，我们研究了扩充复平面上非初等群G的离散准则。我们首次提出了检验元素的思想，并证明了任一斜驶型元素均可以作为检验元素来判定G的离散性，即：若检验元素和G中任一元素生成的子群离散，则G离散，更为重要的是，检验元素甚至可以不必在群G中!这一结果改进了由T. Jφrgensen建立的着名的离散准则。 在第二节中，我们研究了高维M（?）bius群的代数收敛定理。G. J. Martin和方爱农、乃兵分别在有限生成和条件A的限制下建立了一条代数收敛定理，我们用一种新的方法证明了这些限制条件是不必要的，从而建立了更一般的代数收敛定理。 在第三节中，我们将M（?）bius群推广到了无限维的内积空间。我们首先讨论无限维内积空间上M（?）bius映射的性质，证明了M（?）bius映射、保球双射有限维及无限维M6bius群中文提要和保持Ap。nonin。复形的双射这三者之间的等价性以及M6bius映射的保角性;其次，我们给出了一个不是由有限次球面反射复合而成的Msbius映射的例子;最后，我们在单位圆盘上引进了双曲度量p，并证明了保持单位圆盘不动的M6bius映射组成的群恰好是关于p的等距同构群;同时，我们用一个例子表明无限维Msbin。群和有限维M的ius群在拓扑性质上的不同.

二、内积空间中的Mbius变换（论文开题报告）

（1）论文研究背景及目的

此处内容要求：

首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。

写法范例：

本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。

（2）本文研究方法

调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。

观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。

实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。

文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。

实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。

定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。

定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。

跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。

功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。

模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。

三、内积空间中的Mbius变换（论文提纲范文）

（1）基于Gromov-Wasserstein距离的3D图形匹配方法（论文提纲范文）

（2）Gyro向量空间中的Gyro重心坐标公式（论文提纲范文）

（4）Hilbert空间中的M（？）bius变换（论文提纲范文）

（5）内积空间中的等距群和高维M（?）bius群的离散性（论文提纲范文）

（7）内积空间中的M（？）bius变换及M（？）bius群的离散性（论文提纲范文）

（8）有限维及无限维M（？）bius群（论文提纲范文）

四、内积空间中的Mbius变换（论文参考文献）

• [1]基于Gromov-Wasserstein距离的3D图形匹配方法[D]. 焦艳艳. 大连理工大学, 2017(04)
• [2]Gyro向量空间中的Gyro重心坐标公式[D]. 林泉. 山东大学, 2013(11)
• [3]Hilbert空间中单位球内的等距变换群及Mbius变换分类[J]. 陈超,陈敏. 苏州大学学报(自然科学版), 2010(01)
• [4]Hilbert空间中的M（？）bius变换[D]. 陈超. 苏州大学, 2009(10)
• [5]内积空间中的等距群和高维M（?）bius群的离散性[D]. 赵杰. 湖南大学, 2007(05)
• [6]内积空间中的Mbius变换[J]. 殷冬琴. 苏州大学学报(自然科学版), 2004(04)
• [7]内积空间中的M（？）bius变换及M（？）bius群的离散性[D]. 殷冬琴. 苏州大学, 2004(01)
• [8]有限维及无限维M（？）bius群[D]. 杨世海. 苏州大学, 2004(01)

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